Giải bài 12 trang 107 – SGK môn Đại số lớp 10
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, chứng minh rằng
\(b^2x^2-(b^2+c^2-a^2)x+c^2>0\)
Lời giải:
Hướng dẫn
Vì tam thức bậc hai \(b^2x^2-(b^2+c^2-a^2)x+c^2\) có hệ số \(a=b^2>0\) nên để chứng minh bài toán trên ta chứng minh phương trình \(b^2x^2-(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0\) có \(\Delta <0\) với mọi a, b, c.
Đặt \(f(x) = b^2x^2 - (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2\) ta có:
\(Δ = (b^2 + c^2 - a^2)^2 - 4b^2c^2\\ = (b^2 + c^2 - a^2 - 2bc)(b^2 + c^2 - a^2 + 2bc)\\ = [(b - c)^2 - a^2][(b + c)^2 - a^2]\\ = [b - (c + a)][b - c + a](b + c + a)(b + c - a)\)
Do \(a, b, c \) là 3 cạnh của tam giác nên \(b < c + a; c < a + b; a < b + c\)
\(⇒ b - (c + a) < 0; b - c + a > 0; b + c + a > 0; b + c - a > 0\)
\(⇒ Δ < 0 ⇒ f(x)\) cùng dấu với \(b^2>0\) hay \(f(x) > 0\,\, ∀x\) (đpcm).
Tham khảo lời giải các bài tập Ôn tập chương 4 khác
Giải bài 1 trang 106 – SGK môn Đại số lớp 10 Sử dụng bất đẳng...
Giải bài 2 trang 106 – SGK môn Đại số lớp 10 Có thể rút ra kết...
Giải bài 3 trang 106 – SGK môn Đại số lớp 10 Trong các suy luận sau,...
Giải bài 4 trang 106 – SGK môn Đại số lớp 10 Khi cân một vật với...
Giải bài 5 trang 106 – SGK môn Đại số lớp 10 Trên cùng một mặt...
Giải bài 6 trang 106 – SGK môn Đại số lớp 10 Cho a, b, c là các số...
Giải bài 7 trang 107 – SGK môn Đại số lớp 10 Điều kiện của một...
Giải bài 8 trang 107 – SGK môn Đại số lớp 10 Nếu quy tắc biểu diễn...
Giải bài 9 trang 107 – SGK môn Đại số lớp 10 Phát biểu định lí về...
Giải bài 10 trang 107 – SGK môn Đại số lớp 10 Cho \(a> 0, b>...
Giải bài 11 trang 107 – SGK môn Đại số lớp 10 a) Bằng cách sử dụng...
Giải bài 12 trang 107 – SGK môn Đại số lớp 10 Cho a, b, c là độ dài ba...
Giải bài 13 trang 107 – SGK môn Đại số lớp 10 Biểu diễn hình học...
Giải bài 14 trang 107 – SGK môn Đại số lớp 10 Số \(-2\) thuộc...
Giải bài 15 trang 108 – SGK môn Đại số lớp 10 Bất phương...
Giải bài 16 trang 108 – SGK môn Đại số lớp 10 Bất phương...
+ Mở rộng xem đầy đủ