Giải bài 6 trang 106 – SGK môn Đại số lớp 10
Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng
\(\dfrac {a+b} c+\dfrac {b+c} a +\dfrac {c+a}b\ge 6\)
Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
Với hai số dương a và b ta có: \(\dfrac {a+b} 2 \ge \sqrt{ab}\)
Ta có:
\(\begin{align} & \dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b} \\ & =\left( \dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a} \right)+\left( \dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b} \right)+\left( \dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b} \right) \\ \end{align} \)
Vì \(a, b, c > 0\) nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương \(\dfrac{a}{b};\dfrac{b}{a};\dfrac{b}{c};\dfrac{c}{b};\dfrac{a}{c};\dfrac{c}{a} \) ta được:
\(\left( \dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a} \right)+\left( \dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b} \right)+\left( \dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b} \right) \\ \ge 2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}+2\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{b}}+2\sqrt{\dfrac{b}{a}.\dfrac{a}{b}} \\ \ge 2+2+2=6 \)