Giải bài 2.8 trang 104 - SBT Giải tích lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
a) \(y=x^{-3}\)
b) \(y=x^{-\frac 1 2}\)
c) \(y=x^{\frac {\pi} 4}\)
a)
\(y=x^{-3}=\dfrac1 {x^3}\)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Hàm số đã cho là hàm lẻ vì \(y(x)=-y(-x)\)
\(y'=-3x^{-4}=-\dfrac 3 {x^4}<0\,\,\forall x\in D\)
\(\lim\limits_{x\to 0^-}y=-\infty; \lim\limits_{x\to 0^+}y=+\infty\\ \lim\limits_{x\to -\infty}y=\lim\limits_{x\to +\infty}y=0\)
Đồ thị có tiệm cận đứng là trục tung và tiệm cận ngang là trục hoành.
Bảng biến thiên
Đồ thị nhận gốc O là tâm đối xứng
b)
\(y=x^{-\frac 1 2}=\dfrac1 {\sqrt x}\)
TXĐ: \(D=(0;+\infty)\)
\(y'=-\dfrac 1 2x^{-\frac 3 2}=-\dfrac 1 {2\sqrt{x^3}}<0\,\,\forall x\in D\)
\(\lim\limits_{x\to 0}y=+\infty\\ \lim\limits_{x\to +\infty}y=0\)
Đồ thị có tiệm cận đứng là trục tung và tiệm cận ngang là trục hoành.
Bảng biến thiên
Đồ thị
c)
\(y=x^{\frac \pi 4}\)
TXĐ: \(D=(0;+\infty)\)
\(y'=\dfrac {\pi} 4 x^{\frac \pi 4 -1} > 0\,\,\forall x\in D\)
\(\lim\limits_{x\to 0}y=0\\ \lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\)
Đồ thị không có tiệm cận
Bảng biến thiên
Đồ thị
Ghi nhớ
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
- Tìm tập xác định
- Tính đạo hàm
- Tìm giới hạn xác định các tiệm cận (nếu có)
- Lập bảng biến thiên
- Vẽ đồ thị