Giải bài 3.31 trang 178 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) \(y= 2 x - x^2, x+y=2\);
b) \(y=x^3-12 x, y=x^2\);
c) \(x+y=1, x+y=-1, x-y=1, x-y=-1\);
d) \(y=\dfrac{1}{1+x^2}, y=\dfrac{1}{2}\);
e) \(y=x^3-1\) và tiếp tuyến với \(y=x^3-1\) tại điểm (-1;-2).
a) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y= 2 x -x^2; y=-x+2\) là:
\(2 x-x^2=-x+2\)
\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=2 \\ \end{align} \right. \)
Vậy diện tích S của hình phẳng bằng
\(\begin{aligned} & S=\int\limits_{1}^{2}{\text{ }\!\![\!\!\text{ }(2x-x\hat{\ }2)-(-x+2)\text{ }\!\!]\!\!\text{ dx}} \\ & \,\,\,=\int\limits_{1}^{2}{\left( 3x-{{x}^{2}}-2 \right)\text{dx}} \\ & \,\,\,=\left( \frac{3}{2}{{x}^{2}}-\frac{{{x}^{3}}}{3}-2x \right)\left| \begin{aligned} & 2 \\ & 1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \,\,\,=\frac{1}{6} \text{(đvdt)}\\ \end{aligned} \)
b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y=x^3-12 x, y=x^2\) là:
\(x^3-12x=x^2\\\Leftrightarrow x^3 -{{x}^{2}}-12x=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=4 \\ & x=-3 \\ \end{align} \right. \)
Vậy diện tích S của hình phẳng bằng
\(\begin{aligned} & S=\int\limits_{-3}^{0}{\left( {{x}^{3}}-12x-{{x}^{2}} \right)dx}+\int\limits_{0}^{4}{\left( {{x}^{2}}-{{x}^{3}}+12x \right)dx} \\ & \,\,\,=\left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-6{{x}^{2}}+\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)\left| \begin{aligned} & 0 \\ & -3 \\ \end{aligned} \right.+\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{4}}}{4}+6{{x}^{2}} \right)\left| \begin{aligned} & 4 \\ & 0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \,\,\,=\frac{99}{4}+\frac{160}{3} \\ & \,\,\,=\frac{937}{12} \text{(đvdt)} \\ \end{aligned} \)
c) Ta có đồ thị của 4 hàm số đã cho:
Khi đó diện tích hình phẳng S bằng
\(S=4\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-x \right)dx}=4\left( x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)\left| \begin{align} & 1 \\ & 0 \\ \end{align} \right.=2 \text{(đvdt)} \)
d) Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số \(y=\dfrac{1}{1+x^2}, y=\dfrac{1}{2}\) là:
\(\dfrac{1}{1+{{x}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+1=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1\)
\(\begin{aligned} & S=\int\limits_{-1}^{1}{\left( \frac{1}{1+{{x}^{2}}}-\frac{1}{2} \right)dx}=2\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{1}{1+{{x}^{2}}}-\frac{1}{2} \right)dx} \\ & \,\,\,=2\left( \arg \tan x-\frac{1}{2}x \right)\left| \begin{aligned} & 1 \\ & 0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \,\,\,=2\left( \frac{\pi }{4}-\frac{1}{2} \right) \\ & \,\,\,=\frac{\pi }{2}-1 \,\text{(đvdt)}\\ \end{aligned} \)
e) Phương trình tiếp tuyến tại \((-1; -2)\) là \(y = 3x + 1\)
Diện tích S của hình phẳng bằng
\(\begin{aligned} & S=\int\limits_{-1}^{2}{\left( 3x+1-{{x}^{3}}+1 \right)dx}=\int\limits_{-1}^{2}{\left( -{{x}^{3}}+3x+1 \right)dx} \\ & \,\,\,=\left( -\frac{{{x}^{4}}}{4}+\frac{3{{x}^{2}}}{2}+x \right)\left| \begin{aligned} & 2 \\ & -1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \,\,\,=\frac{27}{4} \\ \end{aligned} \)
Ghi nhớ:
Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành và hai đường thẳng \(x=a, x=b\) thì diện tích S cho bởi công thức:
\(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}\)