Giải bài 3.35 trang 178 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12
Một hình phẳng được giới hạn bởi \(y=e^{-x}, y=0, x=0, x=1\). Ta chia đoạn [0;1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật như Hình 3.9).
a) Tính diện tích \(S_n\) của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con).
b) Tìm \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,V_n \) và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.
Quan sát hình vẽ ta có:
a)
\(\begin{align} & {{S}_{n}}=\frac{1}{n}\left[ {{e}^{-\frac{1}{n}}}+{{e}^{-2\frac{1}{n}}}+...+{{e}^{-\frac{n}{n}}} \right] \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{1}{n}{{e}^{-\frac{1}{n}}}.\frac{1-{{e}^{-1}}}{1-{{e}^{-\frac{1}{n}}}} \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{\frac{1}{n}\left( 1-{{e}^{-1}} \right)}{{{e}^{\frac{1}{n}}}-1} \\ \end{align} \)
b) \(\lim\limits_{a\to +\infty }\,{{S}_{n}}=\lim\limits_{a\to +\infty }\,\dfrac{\dfrac{1}{n}\left( 1-{{e}^{-1}} \right)}{{{e}^{\frac{1}{n}}}-1}=1-{{e}^{-1}}\)
Mặt khác \(\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}dx}=1-{{e}^{-1}}\)
Vậy hai cách tích này đều cho kết quả như nhau.