Giải bài 3.46 trang 181 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) \(y=x-1+\dfrac{\ln x}{x}\), \(y=x-1\) và \(x=e\)
b) \( y = x^3 – x^2\) và \(y=\dfrac{1}{9}\left( x-1 \right)\)
a) Hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số \(y=x-1+\dfrac{\ln x}{x},y=x-1\) là \(x=1\)
Khi đó diện tích hình phẳng S được tính bằng:
\(S=\int\limits_{1}^{e}{\left| \dfrac{\ln x}{x} \right|}dx=\int\limits_{1}^{e}{\ln x}d\left( \ln x \right)=\dfrac{1}{2}{{\ln }^{2}}x\left| \begin{aligned} & e \\ & 1 \\ \end{aligned} \right.=\dfrac{1}{2}\)
b) Hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số \(y = x^3 – x^2\) và \(y=\dfrac{1}{9}\left( x-1 \right)\) là \(x=1;x=\pm \dfrac{1}{3}\)
Đường thẳng \(y = \dfrac 1 9 (x-1)\) đi qua tâm đối xứng \(I\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{27} \right)\) của hàm số \(y = x^3 – x^2.\)
Do đó, hình phẳng giới hạn bởi hai đường đã cho gồm hai hình vẽ đối xứng nhau qua điểm I
Khi đó diện tích hình phẳng S được tính bằng:
\(S=2\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}}{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-\dfrac{1}{9}\left( x-1 \right) \right)}dx=2\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{18}+\dfrac{x}{9} \right)\left| \begin{aligned} & \frac{1}{3} \\ & -\frac{1}{3} \\ \end{aligned} \right.=\dfrac{8}{81}\)