Giải bài 3.47 trang 181 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12

a) Phương trình tiếp tuyến là: 

\(y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}\)

Thể tích khối tròn xoay là:

\(\begin{aligned} & V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{y}^{3}}dy}-\pi \int\limits_{\dfrac{1}{3}}^{1}{{{\left( \dfrac{3}{2}y-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}dy} \\ & \,\,\,\,=\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{2\pi }{9}{{\left( \dfrac{3}{2}y-\dfrac{1}{2} \right)}^{3}}\left| \begin{aligned} & 1 \\ & \dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right. \\ & \,\,\,\,=\dfrac{\pi }{36} \\ \end{aligned}\)

b) Thể tích khối tròn xoay là:

\(\begin{aligned} & V=\pi \int\limits_{-1}^{\dfrac{1}{2}}{{{\left( \dfrac{1}{x}-1 \right)}^{2}}dx}-\pi \int\limits_{-1}^{\dfrac{1}{2}}{4{{x}^{2}}dx} \\ & \,\,\,\,=\pi \left( -\dfrac{1}{x}-2\ln \left| x \right|+x-\dfrac{4}{3}{{x}^{3}} \right)\left| \begin{aligned} & \dfrac{1}{2} \\ & -1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \,\,\,\,=\pi \left( \dfrac{5}{3}-2\ln 2 \right) \\ \end{aligned}\)

c) Khi quay quanh trục Ox thì

\(\begin{aligned} & {{V}_{x}}=\pi \int\limits_{0}^{3}{{{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{0}^{3}{\left( 4{{x}^{2}}-4{{x}^{3}}+{{x}^{4}} \right)dx} \\ & \,\,\,\,\,=\pi \left( \dfrac{4{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{4}}+\dfrac{{{x}^{5}}}{5} \right)\left| \begin{aligned} & 3 \\ & 0 \\ \end{aligned} \right.=\dfrac{18}{5}\pi \\ \end{aligned}\)

Khi quay quanh trục Oy, ta có:

\(\begin{aligned} & {{V}_{y}}=\pi \left\{ \int\limits_{0}^{1}{\left[ {{\left( 1+\sqrt{1-y} \right)}^{2}}-{{\left( 1-\sqrt{1-y} \right)}^{2}} \right]dy}+\pi \int\limits_{0}^{3}{\left[ 9-{{\left( 1+\sqrt{1+y} \right)}^{2}} \right]dy} \right\} \\ & \,\,\,\,\,\,=\pi \left[ \int\limits_{0}^{1}{4\sqrt{1-y}dy}+\int\limits_{0}^{3}{\left( 7-y-2\sqrt{1+y} \right)dy} \right]=\dfrac{59\pi }{6} \\ \end{aligned}\)