Giải bài 3.48 trang 181 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12
Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau:
\(\begin{aligned} & a)\,\,\,\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{n}}{{\left( 1-x \right)}^{m}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{m}}{{\left( 1-x \right)}^{n}}dx};m,n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ & b)\,\,\,\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{t}^{2}}}{{{e}^{t}}+1}dt=\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{2}}dt}}; \\ & c)\,\,\,\int\limits_{0}^{1}{{{\sin }^{3}}x\cos xdx}=\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{3}}dt} \\ \end{aligned}\)
a) Đúng:
Hướng dẫn: Dùng phương pháp đổi biến: \(1-x=u\)
\(\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{t}^{2}}dt}{{{e}^{t}}+1}}=\int\limits_{-1}^{0}{\dfrac{{{t}^{2}}dt}{{{e}^{t}}+1}}+\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{t}^{2}}dt}{{{e}^{t}}+1}}\) (1)
Dùng phương pháp đổi biến \(t = - x\) đối với tích phân \(\int\limits_{-1}^{0}{\dfrac{{{t}^{2}}dt}{{{e}^{t}}+1}}\)
Ta có:
Thay vào (1), ta có: \(\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{t}^{2}}dt}{{{e}^{t}}+1}}=\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{2}}dt}\)