Giải bài 4.12 trang 202 - SBT Giải tích lớp 12
Cho \(z=a+bi\). Chứng minh rằng :
\( \begin{align} & a){{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right); \\ & b){{z}^{2}}-{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}=4abi; \\ & c){{z}^{2}}{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}. \\ \end{align}\)
Nhắc lại: \(\overline z =a-bi\)
\(\begin{aligned} & a) \\ & {{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}+{{\left( a-bi \right)}^{2}} \\ & ={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi+\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2abi \right)=2\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right) \\ & b) \\ & {{z}^{2}}-{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}-{{\left( a-bi \right)}^{2}} \\ & ={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi-\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-2abi \right) \\ & =4abi \\ & c) \\ & {{z}^{2}}.{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}.{{\left( a-bi \right)}^{2}}={{\left[ \left( a+bi \right)\left( a-bi \right) \right]}^{2}} \\ & ={{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}} \\ \end{aligned} \)