Giải bài 4.16; 4.17; 4.18 trang 202 - SBT Giải tích lớp 12
4.16. Cho \(z\in \mathbb{C}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\begin{align} & A.\,\,z+\overline{z}\in \mathbb{R} \\ & B.\,z.\overline{z}\in \mathbb{R} \\ & C.\,z-\overline{z}\in \mathbb{R} \\ & D.{{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}\in \mathbb{R} \\ \end{align} \)
4.17. Cho \(n,k\in \mathbb{N}\), biết \({{i}^{n}}=-1\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. \(n\) là một số chẵn
B. \(n\) là một số lẻ
C. \(n=4k+2\)
D. \(n=4k+3\)
4.18. Cho \({{z}_{1}};{{z}_{2}}\in \mathbb{C} \). Khẳng định nào sau đây là sai ?
\(\begin{align} & A.\,{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}\in \mathbb{R} \\ & B.\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}+\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}\in \mathbb{R} \\ & C.\,{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}.\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}\in \mathbb{R} \\ & D.\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}-\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}\in \mathbb{R} \\ \end{align}\)
4.16.
A. \(z+\overline{z}=2a\in \mathbb{R}\) . A đúng
B. \( z.\overline{z}=\left( a+bi \right)\left( a-bi \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\in \mathbb{R} \). B đúng
C. \(z-\overline{z}=\left( a+bi \right)-\left( a-bi \right)=2bi\in \mathbb{C} \). C sai
D. \({{z}^{2}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}+{{\left( a-bi \right)}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\in \mathbb{R} \). D đúng
Chọn C
4.17.
\({{i}^{n}}={{\left( {{i}^{2}} \right)}^{\frac{n}{2}}}=-1 \\ \Rightarrow \dfrac{n}{2}=2k+1\Rightarrow n=4k+2 \)
Chọn C.
4.18.
Gọi \( {{z}_{1}}=a+bi;{{z}_{2}}=c+di,\,\,\,a,b,c,d\in \mathbb{R}\)
\(\begin{aligned} & A.\,{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}=\left( a+bi \right)\left( c-di \right)+\left( a-bi \right)\left( c+di \right) \\ & =ac+bd+\left( bc-ad \right)i+ac+bd+\left( ad-bc \right)i \\ & =2\left( ac+bd \right)\in \mathbb{R} \\ & B.\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}+\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}=\left( a+bi \right)\left( c+di \right)+\left( a-bi \right)\left( c-di \right) \\ & =ac-bd+\left( ad+bc \right)i+ac-bd-\left( ad+bc \right)i \\ & =2\left( ac-bd \right)\in \mathbb{R} \\ & C.\,{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}.\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}=\left( a+bi \right)\left( c-di \right)\left( a-bi \right)\left( c+di \right) \\ & =\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\in \mathbb{R} \\ & D.\,{{z}_{1}}.{{z}_{2}}-\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}=\left( a+bi \right)\left( c+di \right)-\left( a-bi \right)\left( c-di \right) \\ & =ac+bd+\left( ad+bc \right)i-\left[ ac-bd-\left( ad+bc \right)i \right]\in \mathbb{C} \\ \end{aligned}\)
Chọn D.