Giải bài 34 trang 174 SGK giải tích nâng cao 12
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị các hàm số \(y=x,y=1\) và \(y=\dfrac{{{x}^{2}}}{4}\) trong miền \(x\ge 0,y\le 1\);
b) Đồ thị của hai hàm số \(y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4,y={{x}^{2}}\), trục tung và đường thẳng \(x=1\);
c) Đồ thị các hàm số \(y={{x}^{2}},y=4x-4\) và \(y=-4x-4\);
a)
Diện tích hình phẳng cần tìm là
\(\begin{aligned} S&=\int\limits_{0}^{1}{\left( x-\dfrac{{{x}^{2}}}{4} \right)dx}+\int\limits_{1}^{2}{\left( 1-\dfrac{{{x}^{2}}}{4} \right)dx} \\ & =\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}-\dfrac{{{x}^{3}}}{12} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\\\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\\\\\ \end{smallmatrix}} \right.+\left( x-\dfrac{{{x}^{3}}}{12} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\\\ 1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 2 \\ \\\\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{12}+2-\dfrac{2}{3}-1+\dfrac{1}{12} \\ & =\dfrac{5}{6}\,\text{(đvdt)} \\ \end{aligned} \)
b)
Diện tích hình phẳng cần tìm là
\(\begin{aligned} S &=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4-{{x}^{2}} \right)dx} \\ & =\left( \dfrac{{{x}^{5}}}{5}-\dfrac{5}{3}{{x}^{3}}+4x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\\\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \\\\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\dfrac{1}{5}-\dfrac{5}{3}+4=\dfrac{38}{15}\,\text{(đvdt)} \\ \end{aligned} \)
c)
Diện tích hình phẳng cần tìm là
\(\begin{aligned} S&=2\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)dx} \\ & =2\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+4x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\\\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 2 \\ \\\\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =2\left( \dfrac{8}{3}-8+8 \right)=\dfrac{16}{3} \,\text{(đvdt)}\\ \end{aligned} \)