Giải bài 35 trang 175 SGK giải tích nâng cao 12

a) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình

\({{x}^{2}}+1=3-x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=1 \\ & x=-2 \\ \end{aligned} \right. \)

Diện tích hình phẳng cần tìm là

\(\begin{aligned} S&=\int\limits_{-2}^{1}{\left( 3-x-{{x}^{2}}-1 \right)dx} \\ & =\int\limits_{-2}^{1}{\left( -{{x}^{2}}-x+2 \right)dx} \\ & =\left( -\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ -2 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2-\dfrac{8}{3}+2+4 \\ & =\dfrac{9}{2}\,\text{(đvdt)} \\ \end{aligned} \)

b) Ta có \(x={{y}^{3}}\Leftrightarrow y={{x}^{\frac{1}{3}}}\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là

\(S=\int\limits_{1}^{8}{\left( {{x}^{\frac{1}{3}}}-1 \right)dx}=\left( \dfrac{3}{4}{{x}^{\frac{4}{3}}}-x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\\\ 1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 8 \\ \\\\ \end{smallmatrix}} \right.=\dfrac{17}{4} \) (đvdt)

c) Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình

\(\sqrt{x}=6-x\Leftrightarrow x+\sqrt{x}-6=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là

\(\begin{aligned} S&=\int\limits_{0}^{4}{\sqrt{x}dx}+\int\limits_{4}^{6}{\left( 6-x \right)dx} \\ & =\dfrac{2}{3}{{x}^{\frac{3}{2}}}\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\\\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 4 \\ \\\\ \end{smallmatrix}}+\left( 6x-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\\\\\ 4 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 6 \\ \\\\ \end{smallmatrix}} \right. \right. \\ & =\dfrac{16}{3}+36-18-24+8 \\ & =\dfrac{22}{3}\,\text{(đvdt)} \\ \end{aligned} \)