Giải bài 40 trang 93 SGK giải tích nâng cao 12

Số nguyên tố dạng \(M_p=2^p-1\), trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (M.Mersenne, 1588-1648, người Pháp).

Ơ-le phát hiện \(M_{31}\) năm 1750.
Luy-ca (Lucas Edouard, 1842 - 1891, người Pháp) phát hiện \(M_{127}\) năm 1876.
\(M_{1398269}\) được phát hiện năm 1996.
Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số? (Dễ thấy rằng số chữ số của \(2^p-1\) bằng số chữ số của \(2^p\) và để tính số chữ số của \(M_{127}\) có thể lấy \(\log 2\approx 0,30\) và để tính số chữ số của \(M_{1398269}\) có thể lấy \(\log2\approx 0,30103\) (xem ví dụ 8)

Lời giải:

Hướng dẫn: Để tìm số các chữ số của \(2^n\) khi viết trong hệ thập phân người ta lấy giá trị gần đúng của \(\log 2\) và được:

\(N=\left[ n.\log 2 \right]+1\), với \(N\) là số chữ số cần tìm

\(M_{31}\) có dạng \({{M}_{31}}={{2}^{31}}-1\)

Số chữ số của \(M_{31}\) khi viết trong hệ thập phân bằng số các chữ số của \({{2}^{31}} \) nên số chữ số của nó là

\(\left[ 31.\log 2 \right]+1=\left[ 9,3 \right]+1=10\)

Tương tự, số chữ số của \({{M}_{127}}={{2}^{127}}-1 \) là

\(\left[ 127.\log 2 \right]+1=38+1=39\)

Số chữ số của \(M_{1398269}\) là

\(\left[ 1398269.\log 2 \right]+1=420921 \)

Mục lục Giải bài tập SGK Toán 12 (Nâng cao) theo chương •Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 4: Số phức - Giải tích 12 (Nâng cao)

Bài trước Bài sau

Giải bài tập SGK Toán 12 (Nâng cao)

Bài 3: Lôgarit

Giải bài tập SGK Toán 12 (Nâng cao)

Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 4: Số phức

+ Mở rộng xem đầy đủ