Giải bài 1 trang 7 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
| \( a)\,y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1; \\ c)\,y=x+\dfrac{3}{x}; \\ e)\,y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-5;\) | \(b)\,y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1; \\ d)y=x-\dfrac{2}{x}; \\ f)y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}.\) |
a)
Hàm số đã cho xác định trên tập hợp \(\mathbb{R} \)
Ta có:
\(\begin{aligned} & y'=6{{x}^{2}}+6x \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 0;+\infty \right) \)
b)
Hàm số xác định trên \( \mathbb{R} \)
Ta có:
\(\begin{aligned} & y'=3{{x}^{2}}-4x+1 \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=1 \\ & x=\dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( -\infty ;\dfrac{1}{3} \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( \dfrac{1}{3};1 \right) \)
c) Tập xác định \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \)
\(\begin{aligned} & y'=1-\dfrac{3}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-3}{{{x}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-\sqrt{3} \\ & x=\sqrt{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( -\infty ;-\sqrt{3} \right)\) và \(\left( \sqrt{3};+\infty \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( -\sqrt{3};0 \right)\) và \(\left( \sqrt{3};+\infty \right) \)
d) Tập xác định \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \)
\(y'=1+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}>0\) với mọi \(x\ne 0 \)
Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng\( \left( -\infty ;0 \right)\) và \(\left( 0;+\infty \right) \)
e) Tập xác định \(D=\mathbb{R} \)
\(\begin{aligned} & y'=4{{x}^{3}}-4x=4x\left( {{x}^{2}}-1 \right) \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=-1 \\ & x=1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \( \left( 0;1 \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( -1;0 \right) \) và \(\left( 1;+\infty \right) \)
f)
Hàm số xác định khi: \(4-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -2\le x\le 2 \)
Tập xác định: \(D=\left[ -2;2 \right] \)
\(\begin{aligned} & y'=\dfrac{-2x}{2\sqrt{4-{{x}^{2}}}}=\dfrac{-x}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}} \\ & y'=0\Rightarrow x=0 \\ \end{aligned} \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -2;0 \right) \) và nghịch biến trên \(\left( 0;2 \right)\)
Ghi nhớ:
Các bước xét tính biến thiên của hàm số:
- Tìm tập xác định.
- Tính y' và tìm giá trị x thỏa mãn y'=0
- Lập bảng biến thiên
- Kết luận