Giải bài 2 trang 7 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Chứng minh rằng:
a) Hàm số \(y=\dfrac{x-2}{x+2}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
b) Hàm số \(y=\dfrac{-{{x}^{2}}-2x+3}{x+1}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Hướng dẫn:
Để chứng minh: hàm số đồng biến trên tập \(K\subset D\), ta chứng minh \(y'>0\forall x\in K \)
hàm số nghịch biến trên tập \(K\subset D\), ta chứng minh \(y'<0\forall x\in K \)
a) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\} \)
\(y'=\dfrac{4}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}>0\,\forall x\in D \)
Do vậy hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( -\infty ;-2 \right)\) và \(\left( -2;+\infty \right) \)
b) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\} \)
\(\begin{aligned} & y'=\dfrac{\left( -2x-2 \right)\left( x+1 \right)-\left( -{{x}^{2}}-2x+3 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-{{x}^{2}}-2x-5}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=-\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}<0\,\forall x\,\,\in D \\ \end{aligned} \)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( -1;+\infty \right) \)