Giải bài 70 trang 61 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Gọi bán kính đáy là R.

Thể tích của cái hộp là \(V=\pi R^2h\Rightarrow h=\dfrac{V}{\pi R^2}\)

Gọi \(S(R)\) diện tích nguyên liệu cần dùng để làm hộp, ta có:

\(S(R)=2\pi R^2+2\pi Rh=2\pi R^2 +2\pi R.\dfrac{V}{\pi R^2}=2\pi R^2+\dfrac{2V}{R}\)

Để nguyên liệu là ít nhất thì \(S(R)\) đạt GTNN.

Ta có:

\(S'=4\pi R-\dfrac{2V}{R^2}\\ S'=0\Rightarrow R=\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}}\)

Bảng biến thiên

S(R) đạt GTNN khi \(R=\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}}\) khi đó

 \(h=\dfrac{V}{\pi R^2} =\dfrac{V}{\pi \sqrt[3]{\dfrac{V^2}{4\pi^2}}} =\sqrt[3]{\dfrac{4V}{\pi}}\)