Giải bài 79 trang 63 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Cho hàm số
\(y=f(x)=x+\dfrac 1 x\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M(x_0;f(x_0))\) cắt tiệm đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên đường cong (C)
Bảng biến thiên:
Đồ thị
b)
Tiệm cận đứng \(x=0\); Tiệm cận xiên \(y=x\)
Ta có \(f'(x)=1-\dfrac 1 {x^2}\).
Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M là \(y=\left(1-\dfrac 1 {x^2_0}\right)(x-x_0)+x_0+\dfrac 1 {x_0}\)
Thay x =0 vào phương trình trên, ta được tung độ của điểm A là \(A\left(0;\dfrac 2 {x_0}\right)\)
Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình
\(\left(1-\dfrac 1 {x^2_0}\right)(x-x_0)+x_0+\dfrac 1 {x_0}=x\Leftrightarrow -\dfrac{x}{x^2_0}+\dfrac 2{x_0}=0\Leftrightarrow x=2x_0\\ x_B=2x_0=y_B\\ \Rightarrow B(2x_0;2x_0)\)
Ta có: \(x_M=x_0=\dfrac{0+2x_0} 2=\dfrac{x_A+x_B} 2\)
Vì ba điểm A, B, M thẳng hàng nên từ đó suy ra rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Diện tích tam giác OAB là
\(S=\dfrac 1 2 |y_A|.|y_B|=\dfrac 1 2.\left|\dfrac 2 {x_0}\right|.|2x_0|=2\forall x_0 \ne 0\)