Giải bài 72 trang 62 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Cho hàm số
\(f(x)=\dfrac 1 3 x^3 -2x^2+\dfrac{17}3\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b) Chứng minh rằng phương trình \(f(x) =0\) có ba nghiệm phân biệt.
a)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
Giới hạn:
Biến thiên:
\(\begin{aligned} & y'={{x}^{2}}-4x \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=4 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \( \left( -\infty ;0 \right)\) và \( \left( 4;+\infty \right) \) và nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;4 \right)\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;y\left( 0 \right)=\dfrac{17}{3} \) và đạt cực tiểu tại \(x=4;y\left( 4 \right)=-5\)
Đồ thị:
b)
Từ đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=0\) cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt nên phương trình \(f(x)=0\) có 3 nghiệm phân biệt