Giải bài 71 trang 62 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn: Có thể áp dụng công thức Hê - rông (Héron) để tính diện tích tam giác:
Nếu tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thì diện tích của nó là
\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), p là nửa chu vi tam giác.
Gọi độ dài hai cạnh còn lại của tam giác là \(x, y\, (x; y > 0, cm)\)
Vì chu vi của tam giác là 16 cm nên \(x+y=16-6=10\Rightarrow y=10-x\,\,(x<10)\)
Diện tích của tam giác là:
\(S=\sqrt{8.2(8-x)(8-y)}\\ =4\sqrt{(8-x)[8-(10-x)]}\\ =4\sqrt{(8-x)(x-2)}\\ =4\sqrt{-x^2+10x-16}\)
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của S trên khoảng \((0;10)\)
Ta có:
\(S'=\dfrac{4(-2x+10)}{2\sqrt{-x^2+10x-16}}\\ S'=0\Rightarrow x=5\)
Bảng biến thiên:
Tam giác có giá trị lớn nhất khi \(x=y=5\,cm\)
Khi đó diện tích tam giác là \(S=4\sqrt 9 =12\,\,(cm^2)\)