Giải bài 10 trang 40 – SGK môn Hình học lớp 12

Nhắc lại:

Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và S' là diện tích hình chiếu H' của H trên mặt phẳng (P') thì \(S=S'.cos \alpha\) với \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P').

Hướng dẫn:

Vận dụng kiến thức trên tính \(cos \alpha =\dfrac{S}{S'}\) với ​\(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy

Gọi C', D' lần lượt là hình chiếu vuông góc của C và D trên mặt phẳng đáy chứa A và B.

Ta có \(AC'=2r\) (đường kính của đường tròn bán kính r)

Trong các tam giác vuông ABC' và CBC' ta có

\(BC{{'}^{2}}=AC{{'}^{2}}-A{{B}^{2}}=4{{r}^{2}}-A{{B}^{2}} \\ BC{{'}^{2}}=B{{C}^{2}}-CC{{'}^{2}}=A{{B}^{2}}-{{r}^{2}}\,\left( BC=AB \right) \)

\(\Rightarrow 4{{r}^{2}}-A{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-{{r}^{2}} \\ \Leftrightarrow A{{B}^{2}}=\dfrac{5{{r}^{2}}}{2} \\ \Leftrightarrow AB=\dfrac{r\sqrt{10}}{2} \)

Diện tích hình vuông ABCD là

\({{S}_{ABCD}}={{\left( \dfrac{r\sqrt{10}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{5{{r}^{2}}}{2}\)

Ta có: \(BC{{'}^{2}}=4{{r}^{2}}-\dfrac{5{{r}^{2}}}{2}=\dfrac{3{{r}^{2}}}{2} \\ \)

\( \Rightarrow BC'=\dfrac{r\sqrt{6}}{2}\)

Diện tích hình chữ nhật ABC'D' là

\({{S}_{ABC'D'}}=\dfrac{r\sqrt{10}}{2}.\dfrac{r\sqrt{6}}{2}=\dfrac{{{r}^{2}}\sqrt{15}}{2}\)

Gọi \(\alpha\) là góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông ABCD và mặt phẳng đáy.

Ta có \(\cos \alpha =\dfrac{{{S}_{ABC'D'}}}{{{S}_{ABCD}}}=\dfrac{{{r}^{2}}\sqrt{15}}{2}.\dfrac{2}{5{{r}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5} \)