Giải bài 10 trang 46 – SGK môn Giải tích lớp 12

Hướng dẫn:

c) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình \(y'(x)=0\) có 3 nghiệm.

a) Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

\(y'=-4{{x}^{3}}+4mx=-4x(x^2-m)\)

+  \(m\le 0\) hàm số có một cực đại (tại \(x=0\)).

+  \(m>0\) hàm số có hai cực đại (tại \(x=\pm\sqrt{m}\)) và một cực tiểu (tại \(x=0\)).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của \((C_m)\) và trục hoành là

\(-{{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-2m+1=0 \\ \Leftrightarrow \left( 1-{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{x}^{2}} \right)+2m\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left( 1-{{x}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+1-2m \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 1-{{x}^{2}}=0 \\ & {{x}^{2}}+1-2m=0 \\ \end{aligned} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pm 1 \\ & {{x}^{2}}+1-2m=0 \\ \end{align} \right. \)

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên \((C_m)\) luôn cắt trục hoành.

c) Ta có \(y'=-4{{x}^{3}}+4mx=-4x\left( {{x}^{2}}-m \right)\)

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi \(m>0\).