Giải bài 9 trang 46 – SGK môn Giải tích lớp 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2} \).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(f"(x)=0.\)
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình \({{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+3=m\).
Gợi ý:
c) Biện luận dựa vào đồ thị hàm số \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2} \)
a) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2} \)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(f'\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x=2x\left( {{x}^{2}}-3 \right) \\ f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;\,-\sqrt{3}\right)\) và \((0;\,\sqrt{3})\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\sqrt{3};\,0)\) và \(\left(\sqrt{3};\,+\infty\right)\)
+) Cực trị
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm\sqrt{3};\,y_{CT}=-3\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\,y_{CĐ}=\dfrac{3}{2}\).
+) Giới hạn tại vô cực
\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2} \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{{{x}^{2}}}+\dfrac{3}{2{{x}^{4}}} \right) \right]=+\infty\)
+) Bảng biến thiên
