Giải bài 11 trang 46 – SGK môn Giải tích lớp 12

a) \(y=\dfrac{x+3}{x+1}\)

* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{- 1 \right\}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'=\dfrac{-2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}<0,\,\forall x\ne -1\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\,\text{và}\,\left(-1;\,+\infty \right)\)

+) Cực trị

Hàm số đã cho không có cực trị

+) Tiệm cận

\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{x+3}{x+1}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1+\dfrac{3}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}=1 \) nên đường thẳng \(y=1\) là tiệm cận ngang.

\(\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}\,\dfrac{x+3}{x+1}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}\,\dfrac{x+3}{x+1}=-\infty \) nên đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng.

+) Bảng biến thiên 

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng \(y=2x+m\) là:

\(\dfrac{x+3}{x+1}=2x+m \\ \Rightarrow x+3= 2{{x}^{2}}+2x+mx+m \\ \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+ \left( 1+m \right)x-3+m=0 \\ \Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}+24 -8m \\\,\,\,\,=m^2-6m+25 \\\,\,\,\,=(m-3)^2+16>0,\,\forall m \)

Vậy đường thẳng \(y=2x+m\) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

\( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{m+1}{2};\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{m-3}{2}\)

c) Ta có

\(M{{N}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+ {{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}} \\ ={{\left( {{x}_{1}} -{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( 2{{x}_{1}}+m-2{{x}_{2}}-m \right)}^{2}} \\ = 5{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}= 5{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-20{{x}_{1}}{{x}_{2}} \\ = 5{{\left( -\dfrac{m+1}{2} \right)}^{2}}-20.\dfrac{m-3}{2} \\ =\dfrac{5}{4}\left( {{m}^{2}}-6m+25 \right) \\ =\dfrac{5}{4}\left[ {{\left( m-3 \right)}^{2}}+16 \right]\ge 20,\,\forall m \)

Đẳng thức xảy ra khi \(m=3\) và \(\min \,MN=2\sqrt{5}\).

d) Gọi \(S\left( {{x}_{o}};\,{{y}_{o}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm trên (C).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại S có dạng \(y=\dfrac{-2}{{{\left( {{x}_{o}}+1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{o}} \right)+\dfrac{{{x}_{o}}+3}{{{x}_{o}}+1}\)

Ta có \({{x}_{P}}=-1\Rightarrow {{y}_{P}}=1+\dfrac{4}{{{x}_{o}}+1}\)

\({{y}_{Q}}=1\Rightarrow {{x}_{Q}}=\left( 1-\dfrac{{{x}_{o}}+3}{{{x}_{o}}+1} \right):\left( \dfrac{-2}{{{\left( {{x}_{o}}+1 \right)}^{2}}} \right)+{{x}_{o}}=2{{x}_{o}}+1 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{P}}+{{x}_{Q}}=2{{x}_{o}}=2{{x}_{S}} \\ &{{y}_{P}}+{{y}_{Q}}=1+\dfrac{4}{{{x}_{o}}+1}+1=2\dfrac{{{x}_{o}}+3}{{{x}_{o}}+1}=2{{y}_{S}} \\ \end{align} \right. \)

Vậy S là trung điểm của PQ.

Ghi nhớ:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M(x_0;y_0)\) có dạng: \(y=f'(x)(x-x_0)+y_0\)