Giải bài 8 trang 46 – SGK môn Giải tích lớp 12
Cho hàm số
\(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( 2m-1 \right)x+1 \).
a) Xác định \(m\) để hàm số đồng biến trên tập xác định.
b) Với giá trị nào của tham số \(m\), hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
c) Xác định \(m\) để \(f''\left( x \right)>6x\).
Gợi ý:
a) Hàm số đồng biến trên tập xác định khi\(f'(x)\) có: \(\left\{ \begin{aligned} & a>0 \\ & \Delta '\le 0 \\ \end{aligned} \right.\)
b) Hàm số có một cực đại cực tiểu khi phương trình \(f'(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt.
a) Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \)
\(f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( 2m-1 \right)\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0,\,\forall x\in \mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a>0 \\ & \Delta '\le 0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 3>0\,(đúng) \\ & 9{{m}^{2}}-18m+9=9{{\left( m-1 \right)}^{2}}\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m-1=0\Leftrightarrow m=1 \)
b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi \(f'(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \Delta=9{{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1\)
c) Ta có
\(f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( 2m-1 \right) \\ \Rightarrow f''\left( x \right)=6x-6m \\ f''\left( x \right)>6x\Leftrightarrow 6x-6m>6x\Leftrightarrow -6m>0\Leftrightarrow m<0 \)