Giải bài 7 trang 45 – SGK môn Giải tích lớp 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số
\(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\).
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo \(m\)
\({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1=\dfrac{m}{2}\).
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).
a) \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=3{{x}^{2}}+6x;\,\\y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=-2 \\ \end{align} \right. \)
Hàm số nghịch biến trên \((-2;\,0)\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;\,-2)\) và \((0;\,+\infty)\)
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2;\,y_{CĐ}=5\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;\,y_{CT}=1 \).
+) Giới hạn tại vô cực
\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1 \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right) \right]=+\infty \\ \\\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1 \right)=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right) \right]=-\infty \)
+Bảng biến thiên
b) Số nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1=\dfrac{m}{2}\) là số giao điểm của đồ thì (C) và đường thẳng (d) có phương trình \(y=\dfrac{m}{2}\)
+ \(\left[ \begin{aligned} & \dfrac{m}{2}=1 \\ & \dfrac{m}{2}=5 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=2 \\ & m=10 \\ \end{align} \right.\) phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A(x_A; \,y_A)\,\text{và}\, B(x_B;\,y_B)\) có dạng: \(\dfrac{x-{{x}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}=\dfrac{y-{{y}_{A}}}{{{y}_{B}}-{{y}_{A}}}\)
Ta có \(A\left( -2;\,5 \right)\) là điểm cực đại và \( B\left( 0;\,1 \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
\(\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-5}{1-5} \\ \Leftrightarrow -2x-4=y-5 \\ \Leftrightarrow y=-2x+1 \)
* Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
* Đồ thị