Giải bài 40 trang 43 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

\(y=x^3+3x^2-4\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn

c) Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị

Lời giải:

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

Sự biến thiên của hàm số:

\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=-\infty \)

Bảng biến thiên:

\(y'=3{{x}^{2}}+6x\)

\(y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=-2 \\ \end{align} \right.\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-2 \right)\) và \(\left( 0;+\infty \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-2;f\left( -2 \right)=0\) và đạt cực tiểu tại điểm \(x=0;f\left( 0 \right)=-4\)

Đồ thị hàm số:

Ta có: \(y''=6x+6\Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=-1\)

Điểm uốn của đồ thị là \(I\left( -1;-2 \right)\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn \(I(-1;-2)\)

\(\begin{align} & y=y'(-1)(x+1)+(-2) \\ & \Leftrightarrow y=-3\left( x+1 \right)+\left( -2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=-3x-5 \\ \end{align}\)

Công thức đổi hệ trục tọa độ bằng phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{OI}=\left( -1;-2 \right) \,\,\text{là:} \left\{ \begin{align} & x=X-1 \\ & y=Y-2 \\ \end{align} \right.\)

Phương trình đường cong (C) đối với trục mới IXY là:

\(\begin{align} & Y-2={{\left( X-1 \right)}^{2}}+3{{\left( X-1 \right)}^{2}}-4 \\ & \Leftrightarrow Y={{X}^{3}}-3{{X}^{2}}+3X-1+3{{X}^{2}}-6X+3-4+2 \\ & \Leftrightarrow Y={{X}^{3}}-3X \\ \end{align}\)

Vì đây là hàm lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ I là tâm đối xứng

Ghi nhớ:
Điểm uốn của đồ thị hàm số có hoành độ là nghiệm của phương trình \(y''=0\)
Điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đa thức bậc ba một ẩn

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ