Giải bài 46 trang 44 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Cho hàm số

\(y=(x+1)(x^2+2mx+m+2)\)

a) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m=-1\)

Lời giải:

a) Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình:

\((x+1)(x^2+2mx+m+2)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ &x^2+2mx+m+2=0 \,\,\,(*)\\ \end{align} \right. \)

Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là:

\(\left\{ \begin{aligned} & \Delta'=m^2-m-2>0 \\ & (-1)^2+2m(-1)+m+2\ne 0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m-1\,\text{hoặc}\, m >2 \\ & m\ne 3 \\ \end{aligned} \right. \)

Vậy \(m\in (-\infty; -1)\cup (2;3)\cup (3;+\infty)\)

Tại \(m=-1\), ta có: \(y=(x+1)(x^2-2x+1)\)

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=-\infty \)

Ta có:

\(\begin{aligned} & y'=3x^2-2x-1 \\ & y'=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-\dfrac 1 3 \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; -\dfrac 1 3); (1;+\infty)\) và nghịch biến trên khoảng \((-\dfrac 1 3; 1)\)

Hàm số đặt cực đại tại \((-\dfrac 1 3 ; \dfrac{32}{27})\) và cực tiểu tại \((1;0)\)

Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm \((0;1)\)

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ