Giải bài 42 trang 44 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau:
| \(a)\,y=\dfrac 1 3 x^3-x^2-3x-\dfrac 5 3\\ c)\,y=-\dfrac 1 3 x^3+x^2-2x-\dfrac 2 3\) | \(b)\,y=x^3-3x+1\\ d)\,y=x^3-3x^2+3x+1\) |
a)
1. TXĐ: \(D=\mathbb R\)
2. Sự biến thiên
a) Giới hạn của hàm số tại vô cực:
\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=-\infty \)
3. Bảng biến thiên
Ta có:
\(\begin{aligned} & y'={{x}^{2}}-2x-3 \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=3 \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\\ y''=2x-2\\ \Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=1, f(1)=-\dfrac{16} 3\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((3;+\infty)\) và nghịch biến trên \((-1;3)\)
Hàm đạt cực đại tại điểm \(x=-1,f(-1)=0\) và cực tiểu tại \(x=3,f(3)=-\dfrac {32}3\)
3. Đồ thị
Đồ thị nhận điểm \(\left(1;-\dfrac{16}3\right)\) là tâm đối xứng
b)
1. TXĐ: \(D=\mathbb R\)
2. Sự biến thiên
a) Giới hạn của hàm số tại vô cực:
\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=-\infty \)
3. Bảng biến thiên
Ta có:
\(\begin{aligned} & y'=3x^2-3 \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=1 \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\\ y''=6x\\ \Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=0, f(0)=1\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\) và nghịch biến trên \((-1;1)\)
Hàm đạt cực đại tại điểm \(x=-1,f(-1)=3\) và cực tiểu tại \(x=1,f(1)=-1\)
3. Đồ thị
Đồ thị nhận điểm \(\left(0;1\right)\) là tâm đối xứng
c)
1. TXĐ: \(D=\mathbb R\)
2. Sự biến thiên
a) Giới hạn của hàm số tại vô cực:
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=-\infty \)
3. Bảng biến thiên
Ta có:
\(\begin{aligned} & y'=-x^2+2x-2 \\ & y'=-(x-1)^2-1<0\forall x\in D \\ \end{aligned}\\ y''=-2x+2\\ \Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=1, f(1)=-2\)
Bảng biến thiên:
Hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb R\)
3. Đồ thị
Đồ thị nhận điểm \(\left(1;-2\right)\) là tâm đối xứng
d)
1. TXĐ: \(D=\mathbb R\)
2. Sự biến thiên
a) Giới hạn của hàm số tại vô cực:
\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=-\infty \)
3. Bảng biến thiên
Ta có:
\(\begin{aligned} & y'=3x^2-6x+3 \\ & y'=3(x-1)^2 > 0\forall x\in D \\ \end{aligned}\\ y''=6x-6\\ \Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=1, f(1)=2\)
Bảng biến thiên:
Hàm số luôn đồng biến biến trên \(\mathbb R\)
3. Đồ thị
Đồ thị nhận điểm \(\left(1;2\right)\) là tâm đối xứng
