Giải bài 43 trang 44 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
\(y=-x^4+2x^2-2\)
b) Tùy theo giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình
\(-x^4+2x^2-2=m\)
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị ở câu a)
a)
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=-\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=-\infty \)
Sự biến thiên:
\(y'=-4x^3+4x\\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm1 \\ \end{align} \right. \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((0;1)\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\) và \((1;+\infty)\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1;f(-1)=-1\) và \(x=1;f(1)=-1\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;f(0)=-2\)
3. Đồ thị
Đồ thị hàm số giao với Oy tại \((0;-2)\)
Vì \(y=-x^4+2x^2-2\) là hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận Oy là trục đối xứng
b)
Số nghiệm của phương trình \(-x^4+2x^2-2=m\) (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=-x^4+2x^2-2\) và đường thẳng \(y=m\).
Từ đồ thị hàm số ta có:
+) Nếu \(m> -1\) phương trình (*) vô nghiệm
+) Nếu \(m=-1\) hoặc \(m < -2\) phương trình (*) có hai nghiệm.
+) Nếu \(m=-2\) phương trình (*) có ba nghiệm
+) Nếu \(-2< m< -1\) phương trình (*) có bốn nghiệm.
c)
Ta có:
\(y''=-12x^2+4\\ y''=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\dfrac{1}{\sqrt 3} \\ & x=\dfrac{1}{\sqrt 3} \\ \end{align} \right. \)
Vậy đồ thị có hai điểm uốn là \(I_1=\left(-\dfrac{1}{\sqrt 3}; \dfrac{-13} 9\right)\) và \(I_2=\left(\dfrac{1}{\sqrt 3}; \dfrac{-13} 9\right)\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(I_1\) là:
\(y=y'\left(-\dfrac 1 {\sqrt 3}\right).\left(x+\dfrac 1 {\sqrt 3}\right)+\dfrac{-13} 9\\ \Leftrightarrow y=\dfrac{-8}{3\sqrt 3}x-\dfrac 7 3\)
Tương tự, ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại \(I_2\) là:
\(y=y'\left(-\dfrac 1 {\sqrt 3}\right).\left(x+\dfrac 1 {\sqrt 3}\right)+\dfrac{-13} 9\\ \Leftrightarrow y=\dfrac{8}{3\sqrt 3}x-\dfrac 7 3\)
Ghi nhớ:
Hoành độ của điểm uốn là nghiệm của phương trình \(y''=0\)