Giải bài 48 trang 45 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Cho hàm số
\(y=x^4-2mx^2+2m\)
a) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có ba điểm cực trị
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m=\dfrac 1 2\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm uốn.
a)
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(y'=4x^3-4mx=4x(x^2-m)\,\,\,(1)\\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x^2=m \\ \end{aligned} \right.\)
Để phương trình có ba điểm cực trị, phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m > 0\)
b)
Với \(m=\dfrac 1 2\) ta có: \(y=x^4-x^2+1\)
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=+\infty \)
\(y'=4x^3-2x=2x(2x^2-1)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{\dfrac 1 2} \\ \end{aligned} \right. \)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\dfrac{\sqrt 2}{2};0)\) và \((\dfrac{\sqrt 2}{2};+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -\dfrac{\sqrt 2} 2); (0;\dfrac {\sqrt 2} 2)\)
Hàm số đạt cực đại tại \((0;1)\) và đạt cực tiểu tại hai điểm \((-\dfrac{\sqrt 2} 2;\dfrac 3 4)\) và \((\dfrac{\sqrt 2} 2;\dfrac 3 4)\)
\(y''=12x^2-2\\ y''=0\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\sqrt{6}} 6\)
Đồ thị có hai điểm uốn \(I_1\left(-\dfrac{\sqrt 6} 6;\dfrac{31}{36}\right)\) và \(I_2\left(\dfrac{\sqrt 6} 6;\dfrac{31}{36}\right)\)
Đồ thị hàm số cắt \(Oy\) tại điểm \((0;1)\)
Đồ thị:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(I_1\left(-\dfrac{\sqrt 6} 6;\dfrac{31}{36}\right)\) là:
\(y-\dfrac{31}{36}=y'\left(-\dfrac{\sqrt 6}{6}\right)\left(x+\dfrac{\sqrt 6}{6}\right)\\ \Leftrightarrow y=\dfrac 4 {3\sqrt 6}x+\dfrac {13} {12}\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(I_2\left(\dfrac{\sqrt 6} 6;\dfrac{31}{36}\right)\)
\(y-\dfrac{31}{36}=y'\left(\dfrac{\sqrt 6}{6}\right)\left(x+\dfrac{\sqrt 6}{6}\right)\\ \Leftrightarrow y=-\dfrac 4 {3\sqrt 6}x+\dfrac {13} {12}\)