Giải bài 41 trang 44 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

\(y=-x^3+3x^2-1\)

b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình

\(-x^3+3x^2-1=m\)

Lời giải:

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

Sự biến thiên của hàm số:

\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( -{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1 \right)=-\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( -{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1 \right)=+\infty \)

\(\begin{aligned} & y'=-3{{x}^{2}}+6x \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;2)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=2;y(2)=3\) và đạt cực tiểu tại điểm \(x=0;y(0)=-1\)

Đồ thị hàm số:

Giao điểm của đồ thị với trục tung là: \(A(0;-1)\)

Hai điểm khác thuộc đồ thị hàm số là: \(B(1;1);\,C(-1;3)\)

Số nghiệm của phương trình \(-x^3+3x^2-1=m\) (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=-x^3+3x^2-1\) và đường thẳng \(y=m\).

Từ đồ thị hàm số ta có:

+) Nếu \(m\in (-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\) thì phương trình (1) có một nghiệm.

+) Nếu \(m=-1\) hoặc \(m=-3\) thì phương trình (1) có hai nghiệm.

+) Nếu \(m\in (-1;3)\) thì phương trình (1) có ba nghiệm.

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ