Giải bài 6 trang 95 – SGK môn Hình học lớp 12
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm \( A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;1;0 \right),C\left( 0;0;1 \right),D\left( 1;1;1 \right)\).
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là
(A) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\); (B) \(\sqrt{2}\);
(C) \(\sqrt{3}\); (D) \(\dfrac{3}{4}\).
Hướng dẫn:
Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu.
Từ bốn điểm thuộc mặt cầu lập hệ phương trình 4 ẩn.
Viết phương trình mặt cầu và suy ra bán kính.
Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng
\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0\)
Do \(A,B,C,D\in \left( S \right)\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{aligned} & 1-2a+d=0 \\ & 1-2b+d=0 \\ & 1-2c+d=0 \\ & 3-2\left( a+b+c \right)+d=0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=b=c \\ & d=2a-1 \\ & 3-6a+2a-1=0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=b=c \\ & a=\dfrac{1}{2} \\ & d=2.\dfrac{1}{2}-1=0 \\ \end{align} \right. \)
\(R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Chọn (A)