Giải bài 1.48 trang 24 - SBT Giải tích 12

a) Vì \(\underset{x\to {{1}^{\pm }}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-x-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=-\infty\)  nên \(x=1\) là tiệm cận đứng.
Từ \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-x-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\,\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{{{x}^{2}}}}{{{\left( 1-\dfrac{1}{x} \right)}^{2}}}=1\) suy ra \(y=1\) là tiệm cận ngang.
b) Vì \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+3x}{{{x}^{2}}-4}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+3x}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=+\infty \)  và  \( \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+3x}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=-\infty\) nên \(x=2\) là tiệm cận đứng.
Do \(\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+3x}{{{x}^{2}}-4}=+\infty ;\underset{x\to -{{2}^{-}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+3x}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=-\infty\)  nên \(x=-2\) là tiệm cận đứng thứ hai.
Ta lại có \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+3x}{{{x}^{2}}-4}=\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{1+\dfrac{3}{x}}{1-\dfrac{4}{{{x}^{2}}}}=1\) nên \(y=1\) là tiệm cận ngang.
c) Do \(\underset{x\to {{1}^{\pm }}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{2-x}{{{x}^{2}}-4x+3}=\underset{x\to {{1}^{\pm }}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{2-x}{\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)}=\mp \infty\)  nên \(x=1\) là tiệm cận đứng.
Mặt khác, \(\underset{x\to {{3}^{\pm }}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{2-x}{{{x}^{2}}-4x+3}=\mp \infty\)  nên \(x=3\) cũng là tiệm cận đứng.
Vì \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{2-x}{{{x}^{2}}-4x+3}=0\) nên \(y=0\) là tiệm cận ngang.
d) TXĐ: \(\mathbb{R} \)
Từ \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{3+\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}}{\dfrac{2}{x}+\sqrt{3+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) 
\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{3-\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}}{\dfrac{2}{x}-\sqrt{3+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}}}=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)
Suy ra đồ thị hàm số có các tiệm cận ngang:
\(y=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\,\,\,khi\,\,x\to +\infty\)

\(y=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\,\,\,khi\,\,x\to -\infty \)
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
e) TXĐ: \(D=\left( -\infty ;-\sqrt{2} \right)\cup \left( \sqrt{2};4 \right)\cup \left( 4;+\infty \right) \)
Do \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{5-\dfrac{1}{x}-\sqrt{1-\dfrac{2}{{{x}^{2}}}}}{1-\dfrac{4}{x}}=4\)
\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{5-\dfrac{1}{x}+\sqrt{1-\dfrac{2}{{{x}^{2}}}}}{1-\dfrac{4}{x}}=6\)
Cho nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang
\(y=4\,\,\,khi\,\,x\to +\infty \)
\(y=6\,\,\,khi\,\,x\to -\infty\) 
Vì \(\underset{x\to {{4}^{\pm }}}{\mathop{lim }}\,y=\underset{x\to {{4}^{\pm }}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{5x-1-\sqrt{{{x}^{2}}-2}}{x-4}=\pm \infty \)
Cho nên đường thẳng \(x=4\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ghi nhớ:

Kí  hiệu (C) là đồ thị hàm số \(y=f(x)\)
\(\centerdot \,\) Đường tiệm cận đứng
Nếu có một trong các điều kiện
\( \underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \,\,;\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \,;\,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \,\,;\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{lim }}\,f\left( x \right)=-\infty\)  thì đường thẳng \(x={{x}_{0}}\) là tiệm cận đứng của (C)
\(\centerdot \,\) Đường tiệm cận ngang
Nếu \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim }}\,f\left( x \right)={{y}_{0}}\) hoặc \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim }}\,f\left( x \right)={{y}_{0}}\) thì \(y={{y}_{0}}\) là tiệm cận ngang của (C)