Giải bài 4.24 trang 204 - SBT Giải tích lớp 12
Cho \(z\in \mathbb{C}\) . Mệnh đề nào sau đây sai ?
\(\begin{align} & A.\,\dfrac{1}{z}\in \mathbb{R}\Leftrightarrow z\in \mathbb{R} \\ & B.\,\dfrac{1}{z}\,\,\text{thuần ảo}\Leftrightarrow \,\text{z}\,\text{thuần ảo} \\ & C.\dfrac{1}{z}=\overline{z}\Leftrightarrow \left| z \right|=1 \\ & D.\left| \dfrac{1}{z} \right|=\left| z \right|\Leftrightarrow z\in \mathbb{R} \\ \end{align}\)
\(z=a+bi,\,\,\,a,b\in \mathbb{R} \)
A. \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{a-bi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\in \mathbb{R}\Rightarrow b=0\Leftrightarrow z\in \mathbb{R} \). A đúng
B. \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{a-bi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \) thuần ảo. Suy ra \(a=0\), \(z\) thuần ảo. B đúng
C. \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{a-bi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=a-bi\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1\Leftrightarrow \left| z \right|=1\) . C đúng
D. \(\left| \dfrac{1}{z} \right|=\left| \dfrac{a-bi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right|=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}=1\) D. sai
Chọn D