Giải bài 7 trang 156 – SGK môn Đại số lớp 10

Chứng minh các đồng nhất thức

a) \(\dfrac{1-\cos x+\cos 2x}{\sin 2x-\sin x}=\cot x; \)

b) \(\dfrac{\sin x+\sin \dfrac{x}{2}}{1+\cos x+\cos \dfrac{x}{2}}=\tan \dfrac{x}{2};\)

c) \( \dfrac{2\cos 2x-\sin 4x}{2\cos 2x+\sin 4x}={{\tan }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{4}-x \right); \)

d) \( \tan x-\tan y=\dfrac{\sin \left( x-y \right)}{\cos x\cos y}.\)

Lời giải:

Gợi ý:
Xem lại các công thức lượng giác cơ bản.

a) \(\dfrac{1-\cos x+\cos 2x}{\sin 2x-\sin x}=\cot x \)

Ta có

\( \begin{align} VT & =\dfrac{1-\cos x+\cos 2x}{\sin 2x-\sin x} \\ & =\dfrac{1-\cos x+2{{\cos }^{2}}x-1}{2\sin x\cos x-\sin x} \\ & =\dfrac{\cos x\left( 2\cos x-1 \right)}{\sin x\left( 2\cos x-1 \right)} \\ & =\cot x=VP \\ \end{align}\)

b) \(\dfrac{\sin x+\sin \dfrac{x}{2}}{1+\cos x+\cos \dfrac{x}{2}}=\tan \dfrac{x}{2}\)

Ta có

\( \begin{align} VT& =\dfrac{\sin x+\sin \dfrac{x}{2}}{1+\cos x+\cos \dfrac{x}{2}} \\ & =\dfrac{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}}{1+2{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}-1+\cos \dfrac{x}{2}} \\ & =\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}\left( 2\cos \dfrac{x}{2}+1 \right)}{\cos \dfrac{x}{2}\left( 2\cos \dfrac{x}{2}+1 \right)} \\ & =\tan \dfrac{x}{2}=VP \\ \end{align} \)

c) \( \dfrac{2\cos 2x-\sin 4x}{2\cos 2x+\sin 4x}={{\tan }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{4}-x \right) \)

Ta có

\( \begin{align} VT& =\dfrac{2\cos 2x-\sin 4x}{2\cos 2x+\sin 4x} \\ & =\dfrac{2\cos 2x-2\sin 2x\cos 2x}{2\cos 2x+2\sin 2x\cos 2x} \\ & =\dfrac{2\cos 2x\left( 1-\sin 2x \right)}{2\cos 2x\left( 1+\sin 2x \right)} \\ & =\dfrac{1-\sin 2x}{1+\sin 2x} \\ & =\dfrac{{{\left( \cos x-\sin x \right)}^{2}}}{{{\left( \cos x+\sin x \right)}^{2}}} \\ & ={{\left[ \dfrac{\sqrt{2}\sin \left( \dfrac{\pi }{4}-x \right)}{\sqrt{2}\cos \left( \dfrac{\pi }{4}-x \right)} \right]}^{2}} \\ & ={{\tan }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{4}-x \right)=VP \\ \end{align} \)

d) \(\tan x-\tan y=\dfrac{\sin \left( x-y \right)}{\cos x\cos y}\)

Ta có

\(\begin{align} VT& =\tan x-\tan y \\ & =\dfrac{\sin x}{\cos x}-\dfrac{\sin y}{\cos y} \\ & =\dfrac{\sin x\operatorname{cosy}-\sin y\cos x}{\cos x\cos y} \\ & =\dfrac{\sin \left( x-y \right)}{\cos x\cos y}=VP \\ \end{align} \)

Mục lục Giải bài tập SGK Toán 10 theo chương •Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp - Đại số 10 •Chương 1: Vectơ - Hình học 10 •Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Hình học 10 •Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai - Đại số 10 •Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Hình học 10 •Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình - Đại số 10 •Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình - Đại số 10 •Chương 5: Thống kê - Đại số 10 •Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác - Đại số 10

Bài trước Bài sau

Giải bài tập SGK Toán 10

Ôn tập chương 6

Giải bài tập SGK Toán 10

Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp Chương 1: Vectơ Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình Chương 5: Thống kê Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

+ Mở rộng xem đầy đủ