Giải bài 40 trang 43 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Bảng biến thiên:

\(y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=-2 \\ \end{align} \right.\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-2 \right)\)  và \(\left( 0;+\infty \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-2;f\left( -2 \right)=0\) và đạt cực tiểu tại điểm \(x=0;f\left( 0 \right)=-4\)

Đồ thị hàm số:

b)

Ta có: \(y''=6x+6\Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=-1\)

Điểm uốn của đồ thị là \(I\left( -1;-2 \right)\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn \(I(-1;-2)\)

\(\begin{align} & y=y'(-1)(x+1)+(-2) \\ & \Leftrightarrow y=-3\left( x+1 \right)+\left( -2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=-3x-5 \\ \end{align}\)

c)

Công thức đổi hệ trục tọa độ bằng phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{OI}=\left( -1;-2 \right) \,\,\text{là:} \left\{ \begin{align} & x=X-1 \\ & y=Y-2 \\ \end{align} \right.\)

Phương trình đường cong (C) đối với trục mới IXY là:

\(\begin{align} & Y-2={{\left( X-1 \right)}^{2}}+3{{\left( X-1 \right)}^{2}}-4 \\ & \Leftrightarrow Y={{X}^{3}}-3{{X}^{2}}+3X-1+3{{X}^{2}}-6X+3-4+2 \\ & \Leftrightarrow Y={{X}^{3}}-3X \\ \end{align}\)

Vì đây là hàm lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ I là tâm đối xứng

Ghi nhớ:

Điểm uốn của đồ thị hàm số có hoành độ là nghiệm của phương trình \(y''=0\)

Điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đa thức bậc ba một ẩn