Giải bài 47 trang 45 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Cho hàm số
\(y=x^4-(m+1)x^2+m\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m=2\)
b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.
Với \(m=2\), ta có: \(y=x^4-3x^2+2\)
Ta có:
\(\begin{aligned} & y'=4x^3-6x \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{\dfrac 3 2}\\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên \(\left(-\sqrt{\dfrac 3 2};0\right)\) và \(\left(\sqrt{\dfrac 3 2};+\infty\right)\) ; nghịch biến trên \(\left(-\infty;-\sqrt{\dfrac 3 2}\right)\)
Hàm đạt cực tiểu tại điểm \(\left(-\sqrt{\dfrac 3 2};-\dfrac 1 4\right)\) và \(\left(\sqrt{\dfrac 3 2};-\dfrac 1 4\right)\); cực đại tại \((0;2)\)
Đồ thị
b)
Giả sử \(M(x_0;y_0)\) là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.
Ta có:
\(y_0=x^4_0-(m+1)x^2_0+m\\ \Leftrightarrow m(1-x^2_0)+x_0^4-x^2_0-y_0=0\)
Đồ thị đi qua điểm \((x_0;y_0)\) với mọi m khi và chỉ khi phương trình trên nghiệm đúng với mọi m, tức là:
\(\left\{ \begin{aligned} & 1-x^2_0=0 \\ & x^4_0-x_0^2-y_0=0 \\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & x_0=1 \\ & y_0=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & x_0=-1 \\ & y_0=0 \\ \end{aligned} \right.\\ \end{aligned} \right. \)
Vậy với mọi giá trị của M đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm \((1;0);(-1;0)\)