Giải bài 41 trang 44 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
\(y=-x^3+3x^2-1\)
b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình
\(-x^3+3x^2-1=m\)
a)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
Sự biến thiên của hàm số:
\(\begin{aligned} & y'=-3{{x}^{2}}+6x \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;2)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=2;y(2)=3\) và đạt cực tiểu tại điểm \(x=0;y(0)=-1\)
Đồ thị hàm số:
Giao điểm của đồ thị với trục tung là: \(A(0;-1)\)
Hai điểm khác thuộc đồ thị hàm số là: \(B(1;1);\,C(-1;3)\)
b)
Số nghiệm của phương trình \(-x^3+3x^2-1=m\) (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=-x^3+3x^2-1\) và đường thẳng \(y=m\).
Từ đồ thị hàm số ta có:
+) Nếu \(m\in (-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\) thì phương trình (1) có một nghiệm.
+) Nếu \(m=-1\) hoặc \(m=-3\) thì phương trình (1) có hai nghiệm.
+) Nếu \(m\in (-1;3)\) thì phương trình (1) có ba nghiệm.