Giải bài 42 trang 44 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

a)

1. TXĐ: \(D=\mathbb R\)

2. Sự biến thiên

a) Giới hạn của hàm số tại vô cực:

\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=-\infty \) 

3. Bảng biến thiên

Ta có:

\(\begin{aligned} & y'={{x}^{2}}-2x-3 \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=3 \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\\ y''=2x-2\\ \Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=1, f(1)=-\dfrac{16} 3\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((3;+\infty)\) và nghịch biến trên \((-1;3)\)

Hàm đạt cực đại tại điểm \(x=-1,f(-1)=0\) và cực tiểu tại \(x=3,f(3)=-\dfrac {32}3\)

3. Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với Ox là \((5;0)\) với Oy là \(\left(0;-\dfrac 5 3\right)\)

Đồ thị nhận điểm \(\left(1;-\dfrac{16}3\right)\) là tâm đối xứng

b) 

1. TXĐ: \(D=\mathbb R\)

2. Sự biến thiên

a) Giới hạn của hàm số tại vô cực:

\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=-\infty \) 

3. Bảng biến thiên

Ta có:

\(\begin{aligned} & y'=3x^2-3 \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=1 \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\\ y''=6x\\ \Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=0, f(0)=1\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\) và nghịch biến trên \((-1;1)\)

Hàm đạt cực đại tại điểm \(x=-1,f(-1)=3\) và cực tiểu tại \(x=1,f(1)=-1\)

3. Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với Oy là \(\left(0;1\right)\)

Đồ thị nhận điểm \(\left(0;1\right)\) là tâm đối xứng

c)

1. TXĐ: \(D=\mathbb R\)

2. Sự biến thiên

a) Giới hạn của hàm số tại vô cực:

\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=-\infty \) 

3. Bảng biến thiên

Ta có:

\(\begin{aligned} & y'=-x^2+2x-2 \\ & y'=-(x-1)^2-1<0\forall x\in D \\ \end{aligned}\\ y''=-2x+2\\ \Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=1, f(1)=-2\)

Bảng biến thiên:

Hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb R\)

3. Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với Oy là \(\left(0;-\dfrac 2 3\right)\)

Đồ thị nhận điểm \(\left(1;-2\right)\) là tâm đối xứng

d)

1. TXĐ: \(D=\mathbb R\)

2. Sự biến thiên

a) Giới hạn của hàm số tại vô cực:

\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=-\infty \) 

3. Bảng biến thiên

Ta có:

\(\begin{aligned} & y'=3x^2-6x+3 \\ & y'=3(x-1)^2 > 0\forall x\in D \\ \end{aligned}\\ y''=6x-6\\ \Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=1, f(1)=2\)

Bảng biến thiên:

Hàm số luôn đồng biến biến trên \(\mathbb R\)

3. Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với Oy là \((0;1)\)

Đồ thị nhận điểm \(\left(1;2\right)\) là tâm đối xứng