Giải bài 46 trang 44 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Cho hàm số
\(y=(x+1)(x^2+2mx+m+2)\)
a) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m=-1\)
a) Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình:
\((x+1)(x^2+2mx+m+2)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ &x^2+2mx+m+2=0 \,\,\,(*)\\ \end{align} \right. \)
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là:
\(\left\{ \begin{aligned} & \Delta'=m^2-m-2>0 \\ & (-1)^2+2m(-1)+m+2\ne 0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m-1\,\text{hoặc}\, m >2 \\ & m\ne 3 \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy \(m\in (-\infty; -1)\cup (2;3)\cup (3;+\infty)\)
b)
Tại \(m=-1\), ta có: \(y=(x+1)(x^2-2x+1)\)
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=-\infty \)
Ta có:
\(\begin{aligned} & y'=3x^2-2x-1 \\ & y'=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-\dfrac 1 3 \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; -\dfrac 1 3); (1;+\infty)\) và nghịch biến trên khoảng \((-\dfrac 1 3; 1)\)
Hàm số đặt cực đại tại \((-\dfrac 1 3 ; \dfrac{32}{27})\) và cực tiểu tại \((1;0)\)
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm \((0;1)\)
