Giải bài 45 trang 44 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
\(y=x^3-3x^2+1\)
b) Tùy theo giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình.
\(x^3-3x^2+m+2=0\)
a)
3. Biến thiên
Ta có:
\(\begin{aligned} & y'=3x^2-6x \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\\ y''=6x-6\\ y''=0\Leftrightarrow x=1, y(1)=-1\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\); nghịch biến trên \((0;2)\)
Hàm đạt cực đại tại điểm \(x=0, y(0)=1\) và cực tiểu tại \(x=2;y(2)=-3\)
3. Đồ thị
Đồ thị nhận điểm \(I(1;-1)\) là điểm uốn.
b)
Ta có: \(x^3-3x^2+m+2=0\Leftrightarrow x^3-3x^2+1=-m-1\) (*)
Nhận xét: Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đường thẳng \(y=-m-1\) và đồ thị hàm số \(y=x^3-3x^2+1\)
+) Với \(-m-1> 1\Leftrightarrow m<-2\) thì phương trình (*) có một nghiệm
+) Với \(-m-1= 1\Leftrightarrow m=-2\) thì phương trình (*) có hai nghiệm
+) Với \(-3<-m-1< 1\Leftrightarrow -2< m< 2\) thì phương trình (*) có ba nghiệm
+) Với \(-m-1=-3\Leftrightarrow m=2\) thì phương trình (*) có hai nghiệm
+) Với \(-m-1<-3\Leftrightarrow m>2\) thì phương trình (*) có một nghiệm