Giải bài 63 trang 62 – SGK Toán lớp 8 tập 1
Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số, rồi tìm các giá trị nguyên của \(x\)
để giá trị của phân thức cũng là số nguyên:
a) \(\dfrac{3x^2 - 4x - 17}{x + 2};\)
b) \(\dfrac{x^2 - x + 2}{x - 3}\)
a) Ta có:
\( \dfrac{3x^2 - 4x - 17}{x + 2} \\ = \dfrac{3x^2 + 6x -10x - 20 + 3}{x + 2} \\ = \dfrac{3x(x + 2) -10(x + 2) + 3}{x + 2} \\ = \dfrac{3x(x + 2)}{x + 2} + \dfrac{-10(x + 2)}{x + 2} + \dfrac{3}{x + 2}\\ = 3x - 10 + \dfrac{3}{x + 2}\)
Để phân thức \(\dfrac{3x^2 - 4x - 17}{x + 2}\) là số nguyên thì \(\dfrac{3}{x + 2}\) phải là số nguyên \((x \in Z)\)
\(\dfrac{3}{x + 2}\) nguyên
\(\Leftrightarrow (x + 2) \in Ư(3) \\ \Leftrightarrow (x + 2) \in \{-3; \, -1;\, 1;\, 3\}\\ \Leftrightarrow x \in \{-5; \, -3; \, -1; \, 1\}\)
Vậy \(x \in \{-5; \, -3; \, -1; \, 1\}\) thì \(\dfrac{3x^2 - 4x - 17}{x + 2}\) nguyên
b) Ta có:
\(\dfrac{x^2 - x + 2}{x - 3} \\= \dfrac{x^2 - 3x + 2x - 6 + 8}{x - 3} \\= \dfrac{x(x - 3) + 2(x - 3) + 8}{x - 3} \\= \dfrac{x(x - 3)}{x - 3} + \dfrac{2(x - 3)}{x - 3} + \dfrac{8}{x - 3} \\= x + 2 + \dfrac{8}{x - 3}\)
Để phân thức \(\dfrac{x^2 - x + 2}{x - 3}\) nguyên thì \(\dfrac{8}{x - 3}\) phải là số nguyên \((x \in Z)\)
\(\dfrac{8}{x - 3}\) nguyên
\(\Leftrightarrow (x - 3) \in Ư(8) \\ \Leftrightarrow (x - 3) \in \{-8; \, -4; \,-2;\, -1;\, 1;\, 2;\, 4;\, 8\}\\ \Leftrightarrow x \in \{-5; \, -1; \, 1; \, 2; \,4;\, 5;\, 7;\, 11\}\)
Vậy \(x \in \{-5; \, -1; \, 1; \, 2; \,4;\, 5;\, 7;\, 11\}\) thì \(\dfrac{x^2 - x + 2}{x - 3}\) nguyên
Lưu ý: Dạng bài tìm điều kiện để phân thức \(\dfrac{A}{B}\) nguyên thì ta đưa phân thức \(\dfrac{A}{B}\) về dạng \(C + \dfrac{D}{E}.\) Từ đó
tìm điều kiện để phân thức \(\dfrac{D}{E}\) nguyên.
