Giải bài 2 trang 17 – SGK Hình học lớp 10
Cho \(AK\) và \(BM\) là hai trung tuyến của tam giác \(ABC\).
Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{BC} ,\overrightarrow{CA} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow{u} =\overrightarrow{AK} ;\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BM} \).
Vì \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} =2\overrightarrow{AK} \) (1)
\(M\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{BC} =2\overrightarrow{BM} \) (2)
Trừ từng vế của (1) cho (2), ta được:
\(\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)=2\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}\)
\(\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{u}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{v}\)
Từ (1), ta có: \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AK} -\overrightarrow{AB} =2\overrightarrow{u} -\left(\dfrac{2}{3}\overrightarrow{u}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{v}\right)=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{u}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{v}\)
Suy ra:\(\overrightarrow{CA}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{u} -\dfrac{2}{3}\overrightarrow{v} \) .
Từ (2), ta có: \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\left(\dfrac{4}{3}\overrightarrow{u}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{v}\right)- \left(\dfrac{2}{3}\overrightarrow{u}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{v}\right)=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{u}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{v} \).
Vậy \(\overrightarrow{AB} =\dfrac{2}{3}\overrightarrow{u}-\dfrac{2}{3};\,\overrightarrow{CA} =-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{u}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{v};\,\overrightarrow{BC} =\dfrac{2}{3}\overrightarrow{u}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{v}\).
Ghi nhớ:
Nếu AI là đường trung tuyến trong tam giác ABC (I thuộc BC) thì \(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} =2\overrightarrow{AI} \)