Giải bài 4 trang 17 – SGK Hình học lớp 10
Gọi \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\) và \(D\) là trung điểm của đoạn \(AM\). Chứng minh rằng:
a) \(2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0} \);
b) \(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD} \) với O là điểm tùy ý.
a) Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên
\(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC} =2\overrightarrow{DM} \) .
Lại có \(D\) là trung điểm của \(AM\) nên
\( \overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{DM} =\overrightarrow{0} \)
Do đó:
\(2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DA} +2\overrightarrow{DM} =2\left(\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DM}\right)=2.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\).
b) Với \(O\) là điểm tùy ý, ta có:
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} =2\overrightarrow{OM} \) ( do \(M\) là trung điểm \(BC\))
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM} =2\overrightarrow{OD} \) (do \(D\) là trung điểm của \(AM\))
Do đó:
\(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OM} =2\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM} \right)=2.2\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OD} \)
Ghi nhớ:
Nếu AI là đường trung tuyến trong tam giác ABC (I thuộc BC) thì \(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} =2\overrightarrow{AI} \)