Giải bài 9 trang 17 – SGK Hình học lớp 10

Qua \(M\), kẻ \(PQ\) // \(AB\), \(RS\) // \(AC\) và \(IK\) // \(BC\)

Dễ chứng minh được \(\Delta {MPS}\) đều nên \(MD\) là đường trung tuyến.

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MS}\) (1)

\(\Delta {RIM}\) đều nên \(MF\) là đường trung tuyến

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MI}\) (2)

\(\Delta {MQK}\) đều nên \(ME\) là đường trung tuyến

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MK}\) (3)

Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta được:

\(\begin{align} & 2\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MK} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left( \overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MI} \right)+\left( \overrightarrow{MS}+\overrightarrow{MK} \right)+\left( \overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MQ} \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA} \,\,(4)\\ \end{align} \)

(Do \(MIBP,MKCS,MQAR\) là các hình hình hành)

Lại có \(M\) là trọng tâm \(\Delta{ABC}\) nên 

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}\)   (5)

Kết hợp (4) và (5), ta được:

\(2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\right)=3\overrightarrow{MO}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}\)

Ghi nhớ:

Nếu AI là đường trung tuyến trong tam giác ABC (I thuộc BC) thì \(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} =2\overrightarrow{AI} \)