Giải bài 5 trang 17 – SGK Hình học lớp 10
Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng:
\(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\).
Gợi ý:
Áp dụng quy tắc ba điểm: \(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}\)
Ta có:
\(\begin{align} & \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN} \\ & \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN} \\ \end{align} \)
Lại có:
\(\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}\) (do \(M\) là trung điểm của \(AB\))
\(\overrightarrow{CN}=-\overrightarrow{DN}\) (do \(N\) là trung điểm của \(AC\))
Do đó:
\(\begin{align} & 2\overrightarrow{MN}=\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right)+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\left( \overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN} \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{0} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \\ \end{align} \)
Chứng minh tương tự, ta có: \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)
Vậy \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)