Giải bài 8 trang 17 – SGK Hình học lớp 10
Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC,CD,DE,EF,FA\).
Chứng minh rằng hai tam giác \(MNR \) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.
Hướng dẫn:
Áp dụng: Nếu AI là đường trung tuyến trong tam giác ABC (I thuộc BC) thì \(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} =2\overrightarrow{AI} \)
Giả sử \(G\) là trọng tâm tam giác \(MPR\). Khi đó:
\(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR}=\overrightarrow{0}\)
Vì \(M, P, R\) lần lượt là trung điểm của \(AB, CD, EF\) nên
\(\begin{align} & \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM} \\ & \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GP}\\ & \overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}=2\overrightarrow{GR} \\ \end{align} \)
\(\begin{align} & \Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}=2\left( \overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR} \right) \\ & \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GF} \right)+\left( \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)+\left( \overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE} \right)=\overrightarrow{0}\,\,\, \\ \end{align} \)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{GS}+2\overrightarrow{GN}+2\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}\) (Do \(S, N, Q\) lần lượt là trung điểm của \(AF,BC,DE\))
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GS}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}\)
Vậy \(G\) cũng là trọng tâm của \(\Delta{NQS}\) hay hai tam giác \(MNR \) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.