Giải bài 7 trang 12 – SGK Hình học lớp 10
Cho \(\overrightarrow{a} ,\overrightarrow{b} \) là hai vectơ khác \(\overrightarrow{0} \). Khi nào có đẳng thức
a) \(\left|\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right|=\left| \overrightarrow{a} \right|+\left| \overrightarrow{b} \right|\);
b) \(\left|\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right|=\left|\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} \right|\).
Gợi ý:
Biểu diễn \(\overrightarrow{a} =\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{b} =\overrightarrow{BC} \).
Sử dụng quy tắc ba điểm và quy tắc trừ để suy ra điều kiện.
a. Đặt \(\overrightarrow{a} =\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{b} =\overrightarrow{BC} \). Ta có:
(quy tắc 3 điểm)
Suy ra \(\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=\left| \overrightarrow{AC} \right|=AC\)
Khi đó \(\left|\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right|=\left| \overrightarrow{a} \right|+\left| \overrightarrow{b} \right|\Leftrightarrow AC=AB+BC \)
\(\Leftrightarrow B\) nằm giữa \(A\) và \(C\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{a} ,\overrightarrow{b} \) cùng hướng.
b) Đặt \(\overrightarrow{a} =\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{b} =\overrightarrow{BC} \). Lấy điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{BC} \)
Ta có: \(\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} =\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB} \)
Suy ra: \(\left| \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} \right|=\left| \overrightarrow{DB} \right|=BD\)
Theo câu a, ta có: \(\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=AC\)
Khi đó: \(\left|\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right|=\left|\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} \right|\Leftrightarrow BD=AC\)
Hình bình hành \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau .
là hình chữ nhật
Suy ra \(AB \bot BC \)
Suy ra \( \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b} \)