Giải bài 33 trang 54 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Chứng tỏ rằng nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm là \(x_1\) và \(x_2\) thì tam thức bậc hai \(ax^2+bx+c\) phân tích được thành nhân tử như sau:
\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử:
| a) \(2x^2-5x+3\) | b) \(3x^2+8x+2\) |
Ta có:
\(\begin{align} & a{{x}^{2}}+bx+c=a\left( {{x}^{2}}+\dfrac{b}{a}.x+\dfrac{c}{a} \right) \\ & =a\left[ {{x}^{2}}-\left( -\dfrac{b}{a} \right).x+\dfrac{c}{a} \right] \\ & =a\left[ {{x}^{2}}-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right).x+{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right] \\ & =a\left( {{x}^{2}}-{{x}_{1}}x-{{x}_{2}}x+{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right) \\ & =a\left[ x\left( x-{{x}_{1}} \right)-{{x}_{2}}\left( x-{{x}_{1}} \right) \right] \\ & =a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right) \\ \end{align} \)
Áp dụng:
a)
Xét phương trình \(2{{x}^{2}}-5x+3=0\) có \(a+b+c=0 \) nên phương trình có hai nghiệm
\(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=1 \\ & {{x}_{2}}=\dfrac{3}{2} \\ \end{align} \right. \)
Vậy \( 2{{x}^{2}}-5x+3=2\left( x-1 \right)\left( x-\dfrac{3}{2} \right)=\left( x-1 \right)\left( 2x-3 \right) \)
b)
Xét phương trình \(3{{x}^{2}}+8x+2=0 \)
Có \(\Delta '={{4}^{2}}-3.2=10>0 \)
Phương trình có hai nghiệm \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=\dfrac{-4+\sqrt{10}}{3} \\ & {{x}_{2}}=\dfrac{-4-\sqrt{10}}{3} \\ \end{align} \right. \)
Vậy
\(\begin{align} & 3{{x}^{2}}+8x+2=3\left( x-\dfrac{-4+\sqrt{10}}{3} \right)\left( x-\dfrac{-4-\sqrt{10}}{3} \right) \\ & =\left( 3x+4-\sqrt{10} \right)\left( x+\dfrac{4+\sqrt{10}}{3} \right) \\ \end{align} \)