Giải bài 17 trang 22 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
\(a)f(x)=x^2+2x-5\) trên đoạn \([-2;3]\)
\(b)f(x)=\dfrac{x^3} 3+2x^2+3x-4\) trên đoạn \([-4;0]\)
\(c)f(x)=x+\dfrac 1 x\) trên khoảng \((0;+\infty)\)
\(d)f(x)=-x^2+2x+4\) trên đoạn \([2;4]\)
\(e)f(x)=\dfrac{2x^2+5x+4}{x+2}\) trên đoạn \([0;1]\)
\(f) f(x)=x-\dfrac 1 x\) trên nửa khoảng \((0;2]\)
Hướng dẫn:
Áp dụng quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một khoảng, một đoạn hay nửa khoảng.
a)
Ta có:
\(\begin{aligned} & f'\left( x \right)=2x+2 \\ & f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-1\in \left[ -2;3 \right] \\ \end{aligned}\)
Do \(f(-2)=-5;\,\,f\left( -1 \right)=-6;\,f\left( 3 \right)=10\)
Nên \(\underset{x\in \left[ -2;3 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)=10;\underset{x\in \left[ -2;3 \right]}{\mathop{Min}}\,=-6\)
b)
Ta có:
\(\begin{aligned} & f'\left( x \right)={{x}^{2}}+4x+3 \\ & f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-1\in \left[ -4;0 \right] \\ & x=-3\in \left[ -4;0 \right] \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Do: \(f\left( -4 \right)=\dfrac{-16}{3};f\left( -1 \right)=\dfrac{-16}{3};f\left( -3 \right)=-4;f\left( 0 \right)=-4\)
Nên: \(\underset{x\in \left[ -4;0 \right]}{\mathop{Max}}\,=-4;\underset{x\in \left[ -4;0 \right]}{\mathop{Min}}\,=-\dfrac{16}{3}\)
c)
Ta có:
\(\begin{aligned} & f'\left( x \right)=1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \\ & f'\left( x \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}}=0 \\ & \Rightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-1\notin \left( 0;+\infty \right) \\ & x=1\in \left( 0;+\infty \right) \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Bảng biến thiên
Vậy hàm số có \(\underset{x\in \left( 0;+\infty \right)}{\mathop{Min}}\,f\left( x \right)=2\). Hàm số không có giá trị lớn nhất.
d)
\(\begin{aligned} & f'\left( x \right)=-2x+2 \\ & f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1\notin \left[ 2;4 \right] \\ \end{aligned} \)
Ta có: \(f\left( 2 \right)=4;f\left( 4 \right)=-4\)
Vậy \(\underset{x\in \left[ 2;4 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)=4;\underset{x\in \left[ 2;4 \right]}{\mathop{Min}}\,=-4\)
e)
Ta có:
\(\begin{aligned} & f'\left( x \right)=\dfrac{\left( 4x+5 \right)\left( x+2 \right)-\left( 2{{x}^{2}}+5x+4 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\dfrac{2{{x}^{2}}+8x+6}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}} \\ & f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-1\notin \left[ 0;1 \right] \\ & x=-3\notin \left[ 0;1 \right] \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Có: \(f\left( 0 \right)=2;f\left( 1 \right)=\dfrac{11}{3}\)
Vậy \(\underset{x\in \left[ 0;1 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)=\dfrac{11}{3};\underset{x\in \left[ 0;1 \right]}{\mathop{Min}}\,=2\)
f)
\(f'\left( x \right)=1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}>0\,\forall x\in \left( 0;2 \right]\)
Bảng biến thiên:
Vậy \(\underset{x\in \left( 0;2 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)=\dfrac{3}{2}\) . Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.